Конечно-элементный анализ в SolidWorks Simulation

1. Основные понятия

Жёсткость — способность конструктивных элементов деформироваться при внешнем воздействии без существенного изменения геометрических размеров.

A. Основной характеристикой жёсткости является коэффициент жёсткости, равный силе, вызывающей единичное перемещение в характерной точке (чаще всего в точке приложения силы).

В случаях малых одномерных деформаций (в пределах зоны упругости, где справедлив Закон Гука) жёсткость можно определить как произведение модуля упругости E (при растяжении, сжатии и изгибе) или G (при сдвиге и кручении) на соответствующую геометрическую характеристику сечения элемента, например, площадь поперечного сечения или осевой момент инерции. Понятие жёсткости широко используется при решении задач сопротивления материалов.

Упругость в физике — свойство вещества оказывать влияющей на него силе механическое сопротивление и принимать после её спада исходную форму. Противоположность упругости называется пластичность.

Модуль упругости — общее название нескольких физических величин, характеризующих способность твёрдого тела (материала, вещества) упруго деформироваться (то есть не постоянно) при приложении к нему силы. Модуль упругости тела определяется производной (градиентом) зависимости напряжения от деформации, то есть тангенсом угла наклона диаграммы напряжений-деформаций):

Модуль упругости

где λ (лямбда) — модуль упругости; p — напряжение, вызываемое в образце действующей силой (равно силе, делённой на площадь приложения силы); clip_image003упругая деформация образца, вызванная напряжением (равна отношению размера образца после деформации к его первоначальному размеру). Если напряжение измеряется в паскалях, то, поскольку деформация является безразмерной величиной, единицей измерения λ также будет паскаль. Альтернативным определением является определение, что модуль упругости — это напряжение, достаточное для того, чтобы вызвать увеличение длины образца в два раза. Такое определение не является точным для большинства материалов, потому что это значение намного больше, чем предел текучести материала или значения, при котором удлинение становится нелинейным, однако оно может оказаться более интуитивным.

Разнообразие способов, которыми могут быть изменены напряжения и деформации, включая различные направления действия силы, позволяют определить множество типов модулей упругости. Здесь даны три основных модуля:

Модуль Юнга (E) характеризует сопротивление материала растяжению/сжатию при упругой деформации, или свойство объекта деформироваться вдоль оси при воздействии силы вдоль этой оси; определяется как отношение напряжения к удлинению. Часто модуль Юнга называют просто модулем упругости.

Модуль сдвига или модуль жесткости (G или μ) характеризует способность материала сопротивляться изменению формы при сохранении его объёма; он определяется как отношение напряжения сдвига к деформации сдвига, определяемой как изменение прямого угла между плоскостями, по которым действуют касательные напряжения). Модуль сдвига является одной из составляющих явления вязкости.

Модуль объёмной упругости или Модуль объёмного сжатия (K) характеризует способность объекта изменять свой объём под воздействием всестороннего нормального напряжения (объёмного напряжения), одинакового по всем направлениям (возникающего, например, при гидростатическом давлении). Он равен отношению величины объёмного напряжения к величине относительного объёмного сжатия. В отличие от двух предыдущих величин, модуль объёмной упругости невязкой жидкости отличен от нуля (для несжимаемой жидкости — бесконечен).

Существуют и другие модули упругости: коэффициент Пуассона, параметры Ламе.

Гомогенные и изотропные материалы (твердые), обладающие линейными упругими свойствами, полностью описываются двумя модулями упругости, представляющими собой пару любых модулей. Если дана пара модулей упругости, все другие модули могут быть получены по формулам, представленным в таблице ниже.

В невязких течениях не существует сдвигового напряжения, поэтому сдвиговый модуль всегда равен нулю. Это влечёт также и равенство нулю модуля Юнга.

Модули упругости (Е) для некоторых веществ:

Материал Е, МПа Е, кгс/см²
Алюминий 70000 713 800
Вода 2030 20300
Дерево 10000 102 000
Кость 30000 305 900
Медь 100000 1 020 000
Резина 10 102
Сталь 200000 2 039 000
Стекло 70000 713 800

Коэффициент Пуассона характеризует упругие свойства материала. При приложении к телу растягивающего усилия оно начинает удлиняться (то есть длина увеличивается), а поперечное сечение уменьшается. Коэффициент Пуассона показывает, во сколько раз изменяется поперечное сечение деформируемого тела при его растяжении или сжатии. Для абсолютно хрупкого материала коэффициент Пуассона равен 0, для абсолютно упругого — 0,5. Для большинства сталей этот коэффициент лежит в районе 0,3, для резины он примерно равен 0,5. (Измеряется в относительных единицах: мм/мм, м/м).

Предел текучести — механическое напряжение σт, дальше которого упругая деформация тела (исчезающая после снятия напряжения) переходит в пластическую (необратимую, когда геометрия тела не восстанавливается после снятия деформирующего напряжения).

Предел текучести соответствует площадке текучести диаграммы деформирования материала. В случае, если такая площадка отсутствует, вместо σт используется напряжение σ0,2 (читается: сигма ноль-два), которое соответствует напряжению, при котором остаточные деформации конструкции (пластические деформации) составляют 0,2 % от длины испытываемого образца.

Предел прочностимеханическое напряжение σ0, выше которого происходит разрушение материала. Поскольку при оценке прочности время нагружения образцов часто не превышает нескольких секунд от начала нагружения до момента разрушения, то его также называют условно-мгновенным пределом прочности, или хрупко-кратковременным пределом прочности.

Мерами измерения прочности также являются предел текучести, предел усталости и др.

Значения предельных напряжений на растяжение и на сжатие обычно различаются. Для композитов предел прочности на растяжение обычно больше предела прочности на сжатие, для остальных материалов наоборот.

Некоторые значения прочности на растяжение, σ0, в кгс/мм2 (1 кгс/мм2=10Мн/м2=10 МПа)

Материалы σ0 σ0 / E
Графит (нитевидный кристалл) 2400 0.024
Сапфир (нитевидный кристалл) 1500 0.028
Железо (нитевидный кристалл) 1300 0.044
Тянутая проволока из высокоуглеродистой стали 420 0.02
Тянутая проволока из вольфрама 380 0.009
Стекловолокно 360 0.035
Мягкая сталь 60 0.003
Нейлон 50

Многие детали машин и механизмов, а также конструкции сооружений в процессе эксплуатации подвергаются циклически изменяющимся во времени воздействиям. Если уровень напряжений, вызванный этими воздействиями, превышает определенный предел, то в материале формируются необратимые процессы накопления повреждений, которые в конечном итоге приводят к разрушению системы.

Процесс постепенного накопления повреждений в материале под действием переменных напряжений, приводящих к разрушению, называется усталостью. Свойство материала противостоять усталости называется выносливостью.

Усталость материалов, изменение механических и физических свойств материала под длительным действием циклически изменяющихся во времени напряжений и деформаций. Изменение состояния материала при усталостном процессе отражается на его механических свойствах, макроструктуре, микроструктуре и субструктуре. Эти изменения протекают по стадиям и зависят от исходных свойств, вида напряженного состояния, истории нагружения и влияния среды. На определенной стадии начинаются необратимые явления снижения сопротивления материала разрушению, характеризуемые как усталостное повреждение. Сначала в структурных составляющих материала и по границам их сопряжения (зерна поликристаллического металла, волокна и матрица композитов, молекулярные цепи полимеров) образуются микротрещины, которые на дальнейших стадиях перерастают в макротрещины либо приводят к окончательному разрушению элемента конструкции или образца для механических испытаний.

2. Основы метода конечных элементов

Метод конечных элементов (МКЭ) в настоящее время является стандартом при решении задач механики твердого тела посредством численных алгоритмов. Популярный в свое время метод конечных разностей, а также претендовавший на универсальность метод граничных элементов (граничных интегральных уравнений) сейчас занимают достаточно узкие ниши, ограниченные исследовательскими или специальными задачами. МКЭ занял лидирующее положение благодаря возможности моделировать широкий круг объектов и явлений. Абсолютное большинство конструктивных элементов, узлов и конструкций, изготовленных из самых разнообразных материалов, имеющих различную природу, могут быть рассчитаны посредством МКЭ. При этом, разумеется, нужно учитывать неизбежные при любой численной аппроксимации условности и погрешности. Поэтому вопрос соответствия между расчетной моделью и реальностью является, пожалуй, основным при использовании программ анализа. Несмотря на то, что такие программы имеют более или менее подробную документацию, они все равно остаются в определенной степени черными ящиками. Это означает определенную непредсказуемость результатов, а также некоторый произвол в их интерпретации. Следовательно, качество заключений, принимаемых на основе результатов, всецело зависит от квалификации, а также, применительно к расчету на прочность, принципиального знакомства с основами МКЭ.

Метод конечных элементов является численным методом решения дифференциальных уравнений, встречающихся в физике и технике. Возникновение этого метода связано с решением задач кос­мических исследований (1950 г.). Впервые он был опубликован в работе Тернера, Клужа, Мартина и Топпа. Эта работа спо­собствовала появлению других работ; был опубликован ряд статей с применениями метода конечных элементов к задачам строитель­ной механики и механики сплошных сред. Важный вклад в теоре­тическую разработку метода сделал в 1963 г. Мелош, который показал, что метод конечных элементов можно рассматривать как один из вариантов хорошо известного метода Рэлея-Ритца. В строительной механике метод конечных элементов минимизацией потенциальной энергии позволяет свести задачу к системе линей­ных уравнений равновесия.

Связь метода конечных элементов с процедурой минимизации привела к широкому использованию его при решении задач в дру­гих областях техники. Метод применялся к задачам, описываемым уравнениями Лапласа или Пуассона. Решение этих уравнений так­же связано с минимизацией некоторого функционала. В первых публикациях с помощью метода конечных элементов реша­лись задачи распространения тепла. Затем метод был применен к задачам гидромеханики, в частности к задаче течения жидкости в пористой среде.

Область применения метода конечных элементов существенно расширилась, когда было показано, что уравнения, определяющие элементы в задачах строительной механики, распростра­нения тепла, гидромеханики, могут быть легко получены с по­мощью таких вариантов метода взвешенных невязок, как метод Галёрюша или способ наименьших квадратов.

Метод конечных элементов из численной процедуры решения задач строительной механики превратился в общий метод численного решения дифференциального уравнения или системы диффе­ренциальных уравнений. Этот прогресс был достигнут за пятнад­цатилетий период, за счет совершенствования быстродействующих цифровых вычислительных машин, необходимых для более точного расчета конструкций летательных аппаратов, а также благодаря помощи Национального комитета по исследованию космического пространства. Вычислительная машина позволила ускорить про­ведение многих сложных численных расчетов. Изучение космического пространства потребовало выделения средств на проведение фундаментальных исследований и стимулировало совершенствование универсальных вычислительных программ. Метод конечных элементов применяется при проектировании самолетов, ракет, различных пространственных оболочек и т. п.

2.1. Основная концепция метода конечных элементов

Основная идея метода конечных элементов состоит в том, что любую непрерывную величину, такую, как температура, давление и перемещение, можно аппроксимировать дискретной моделью, ко­торая строится на множестве кусочно-непрерывных функций, оп­ределенных на конечном числе подобластей. Кусочно-непрерывные функции определяются с помощью значений непрерывной величины в конечном числе точек рассматриваемой области.

В общем случае непрерывная величина заранее неизвестна и нужно определить значения этой величины в некоторых внутрен­них точках области. Дискретную модель, однако, очень легко по­строить, если сначала предположить, что числовые значения этой величины в каждой внутренней точке области известны. После этого можно перейти к общему случаю. Итак, при построении дис­кретной модели непрерывной величины поступают следующим об­разом:

1. В рассматриваемой области фиксируется конечное число точек. Эти точки называются узловыми точками или просто уз­лами.

2. Значение непрерывной величины в каждой узловой точке считается переменной, которая должна быть определена.

3. Область определения непрерывной величины разбивается наконечное число подобластей, называемых элементами. Эти элемен­ты имеют общие узловые точки и в совокупности аппроксимируют форму области.

4. Непрерывная величина аппроксимируется на каждом элементе полиномом, который определяется с помощью узловых зна­чений этой величины. Для каждого элемента определяется свой полином, но полиномы подбираются таким образом, чтобы сохра­нялась непрерывность величины вдоль границ элемента. Основная концепция метода конечных элементов может быть наглядно проиллюстрирована на одномерном примере заданного распределения температуры в стержне, показанном на рис. 2.1.

Распределение температуры в одномерном стержне

Рис. 2.1. Распределение температуры в одномерном стержне

5. Рассматривается непрерывная величина clip_image007, область определе­ния – отрезок clip_image009 вдоль оси х. Фиксированы и пронумерованы пять точек на оси clip_image011 (рис. 2.2, а). Это узловые точки; совсем не обязательно располагать их на равном расстоянии друг от друга. Очевидно, можно ввести в рассмотрение и более пяти точек, но этих пяти вполне достаточно, чтобы проиллюстрировать основную идею метода. Значения Т(х) в данном случае известны в каждой узловой точке. Эти фиксированные значения представлены графи­чески на фиг. 2.2б и обозначены в соответствии с номерами узло­вых точек черезclip_image013

Узловые точки и предполагаемые значения

Рис. 2.2. Узловые точки и предполагаемые значения Т(х).

Разбиение области на элементы может быть проведено двумя различными способами. Можно, например, ограничить каждый эле­мент двумя соседними узловыми точками, образовав четыре эле­мента (рис. 2.3, а), или разбить область на два элемента, каждый из которых содержит три узла (рис.2.3,б). Соответствующий элементу полином определяется по значениям Т(х) в узловых точках элемента. В случае разбиения области на четыре элемента, когда на каждый элемент приходится по два узла, функция эле­мента будет линейна по х (две точки однозначно определяют прямую линию).

Деление области на элементы

б)

Рис. 2.3 Деление области на элементы

Дискретные модели

Рис. 2.4. Дискретные модели для одномерного температурного поля

Окончательная аппроксимация Т(х) будет состоять, из четырех кусочно-линейных функций, каждая из которых опре­делена на отдельном элементе (фиг.2.4, а).

Другой способ разбиения области на два элемента с тремя узловыми точкам и приводит к представлению функции элемента в виде полинома второй степени. В этом случае окончательной аппроксимацией Т(х) будет совокупность двух кусочно-непрерывных квадратичных функций. Отметим, что это приближение будет именно кусочно-непрерывным, так как углы наклона графиков обеих этих функций могут иметь разные значения в третьем узле.

В общем случае распределение температуры неизвестно и мы хотим определить значения этой величины в некоторых точках. Методика построения дискретной модели остается точно такой же, как описано выше, но с добавлением одного дополнительного ша­га. Снова определяются множество узлов и значения температуры в этих узлах clip_image021 которые теперь являются переменными,так как они заранее неизвестны. Область разбивается на элементы, на каждом из которых определяется соответствующая функция элемента.

Узловые значения Т(х) должны быть теперь «отрегули­рованы» таким образом, чтобы обеспечивалось «наилучшее» приближение к истинному распределению температуры. Это «регулирование» осуществляется путем минимизации некоторой величины, связанной с физической сущностью задачи. Если рассматривается задача распространения тепла, то минимизируется функционал, связанный с соответствующим дифференциальным уравнением. Процесс минимизации сводится к решению систем линейных алгебраических уравнений относительно узловых значений clip_image007[1].

Моделирование двумерной скалярной функции с помощью треугольных и четырехугольных элементов

Рис. 2.5. Моделирование двумерной скалярной функции с помощью треугольных и четырехугольных элементов

Моделирование двумерной скалярной функции с помощью квадратичного треугольного элемента

Рис. 2.6. Моделирование двумерной скалярной функции с помощью квадратичного треугольного элемента

2.2. Конечные элементы в SolidWorks

Объемные конечные элементы

Рис. 2.7. Объемные конечные элементы

Параболический конечный элемент

Рис. 2.8. Параболический конечный элемент

Конечный элемент балки и стержня

Рис. 2.9. Конечный элемент балки и стержня

3. Выводы из линейного статического анализа

В SolidWorks Simulation используются обозначения, некоторые из которых следует пояснить.

По умолчанию, направления X, Y и Z отнесены к глобальной координатной системе. Если вы выбираете справочную геометрию, то эти направления относятся к выбранному справочному объекту.

Составляющие деформации

EPSX — Нормальная деформация по оси X

EPSY — Нормальная деформация по оси Y

EPSZ — Нормальная деформация по оси Z

GMXY — Сдвиг по Y в плоскости YZ

GMXZ — Сдвиг по Z в плоскости YZ

GMXZ — Сдвиг по Z в плоскости XZ

ESTRN — Эквивалентная деформация

SEDENS — Плотность энергии деформации

ENERGY — Суммарная энергия деформации

Е1 — Нормальная деформация в первом главном направлении

Е2— Нормальная деформация во втором главном направлении

ЕЗ — Нормальная деформация в третьем главном направлении Эквивалентная деформация (ESTRN) определяется как:

clip_image002

где:

clip_image002[7]

clip_image002[9]

clip_image002[11]

Составляющие перемещения

UX — Перемещение в направлении X

UY — Перемещение в направлении Y

UZ — Перемещение в направление Z

URES — Результирующее перемещение

RFX — Сила реакции в направлении X

RFY — Сила реакции в направлении Y

RFZ — Сила реакции в направлении оси Z

RFRES — Результирующая сила реакции

Элементные и узловые напряжения

SX — Нормальное напряжение по X

SY — Нормальное напряжение по Y

SZ — Нормальное напряжение по Z

TXY — Сдвиг по Y в плоскости YZ

TXZ — Сдвиг по Z в плоскости YZ

TYZ — Сдвиг по Z в плоскости XZ

Следующие величины не используют справочную геометрию:

Р1 — 1 главное напряжение (наибольшее)

Р2 — 2 главное напряжение

РЗ — 3 главное напряжение

VON — Напряжение Von Mises

INT — Интенсивность напряжения = Р1 — РЗ

ERR — Погрешность нормы энергии (доступна только для элементных напряжений)

CP — Контактное давление

Главные напряжения

Компоненты напряжения зависят от направлений, в которых они рассчитываются. Для некоторых поворотов координатных осей касательные напряжения исчезают. Остающиеся три компонента нормальных напряжений называют главными напряжениями. Направления, связанные с главными напряжениями, называют главными направлениями.

Напряжения Von Mises или эквивалентные напряжения

Напряжение von Mises или эквивалентное напряжение представляет собой величину напряжения, расчитанную исходя из составляющих напряжения. Несмотря на то, что эквивалентное напряжение в какой-либо точке определяет состояние напряжения в этой точке неоднозначно, оно предоставляет информацию, достаточную для оценки надежности конструкции для многих пластичных материалов.

В отличие от компонентов напряжения, напряжение von Mises не имеет направления. Оно полностью определяется величиной, выраженной в единицах напряжения. Напряжение von Mises используется критерием отказа для оценки отказа пластичных материалов.

Напряжение von Mises вычисляется следующим образом на основе шести компонентов напряжения:

clip_image002[13]

Или, что эквивалентно, исходя из трех главных напряжений,

clip_image002[15]

Александр Малыгин

Объект обсуждения - программное обеспечение для выполнения автоматизированного конструкторского и технологического проектирования, разработки управляющих программ, вопросы, связанные с разработкой прикладных САПР.

Комментарий “Конечно-элементный анализ в SolidWorks Simulation

  1. Мне понравилось изложение. Кратенько и со вкусом. 🙂

    Но не могу найти урок про расчет вибрации в Симулейшен

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *